Question

离散数学，证明循环群的子群也是循环群，这一步这么得到

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Answer 1

设n阶循环乘群G的生成元为a,则a^n=1。G1是G的子群。
a^k是G1种指数最小的元素,则
(a^k)*(a^k)=a^(2k)仍是G1的元素,若a^k≠1，则a^(2k)≠a^k;
依此类推，若a^(2k)≠1，则a^(3k)≠a^k,a^(3k)≠a^(2k),
……
于是a^k是G1的生成元，
∴G的子群G1仍是循环群。

Answer 2

这是利用元素幂的性质
即g^i=g^(s-mr) 这一步，是利用等式s=mr+i
= g^s*g^(-mr) 这一步，利用幂性质 g^(s+t)=g^s*g^t
=g^s*g^(-rm) 这一步，利用数字乘法交换律
=g^s*(g^(-r))^m 这一步，继续利用幂性质
=g^s*(g^r)^(-m) 这一步，继续利用幂性质