Question

高数证明题

写出具体过程

Answer 1

g(x)=f(x)-f(-x)
对g(x)在0到x上积分
G(x)=∫(0到x)g(t)dt= ∫(0到x)[f(t)-f(-t)]dt
=∫(0到x)f(t)dt - ∫(0到x)f(-t)dt
=∫(0到x)f(t)dt + ∫(0到-x)f(t)dt
根据积分中值定理
存在θ（x）=ε，0<ε<1
使得
g(εx)*(x-0)=G(x)=∫(0到x)f(t)dt + ∫(0到-x)f(t)dt
即
g(εx)*x=x*[f(εx)-f(-εx)]=∫(0到x)f(t)dt + ∫(0到-x)f(t)dt
第一问证毕
第二问我给你个提示吧，在题目中f（x）在0处的导数这个条件没有用到，所以，第二问一定会用到。有导数就要想到用导数定义，根据第一问的条件，去构造导数定义。答案是1/2.