Question

高数证明题

证明过程。。谢谢。

Answer 1

题中只告诉f(x)连续，并未告诉f(x)可导，一楼有误。

证明如下：
记t=-u，则dt=-du,由题得f(-u)=-f(u)
因为
F(x)=∫(0,x)(2t-x)f(t)dt
那么
F(-x)=∫(0,-x)(2t+x)f(t)dt
=-∫(0,x)(-2u+x)f(-u)du
=∫(0,x)(2u-x)f(-u)du
=-∫(0,x)(2u-x)f(u)du
=-F(x)
即F(-x)=-F(x)
所以F(x)为奇函数。命题得证。

Answer 2

变上限积分中，被积函数中也有x的情况，要把x分离出来
F(x)= ∫(0->x) (2t-x) dt
=2∫(0->x) tf(t)dt-x∫(0->x)f(t)dt
f(x)一元函数可微，即f(x)可导
F‘(x)=2xf(x)-∫(0->x)f(t)dt-xf(x)
=xf(x)-∫(0->x)f(t)dt
F''(x)=f(x)+xf'(x)-f(x)
=xf'(x)
因为f(x)是奇函数，所以f'(x)是偶函数
F''(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-F''(x)
所以F''(x)是奇函数
则F'(x)偶
F(x)奇