Question

抛物线x^2=-2y与过点A M(0,-1)的直线l相交于A,B两点,O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率和为1，求直线方程l

Answer 1

设该直线为y=kx-1(∵y+1=kx)，与y=-x²/2联立得：
kx-1=-x²/2，得：x²+2kx-2=0
两根x1,x2为两交点横坐标，根据韦达定理有x1+x2=-2k
则对应的纵坐标为-x1²/2,-x2²/2，
∴OA和OB斜率k1=-x1/2,k2=-x2/2
∴k1+k2=-(x1+x2)/2=-(-2k)/2=k=1
∴k=1，直线方程为：y=x-1

Answer 2

设y=kx+b,因过(0,-1),得b=-1，则y=kx-1
设A,B两交点x值分别为x1,x2，
把y=kx-1代入x^2=-2y得x^2+2kx-2=0
x1,x2为的x^2+2kx-2=0的两个根
则x1+x2=-2k,x1x2=-2

又AB是直线l上两点则A为(x1,kx1-1),B为(x2,kx2-1)且OA和OB斜率和为1
则有（kx1-1）/x1+（kx2-1）/x2=1
2k-(1/x1+1/x2)=1
1/x1+1/x2=2k-1
(x1+x2)/x1x2=2k-1
-2k/x1x2=2k-1 (因x1+x2=-2k)
x1x2=-2k/(2k-1)
又x1x2=-2,则-2k/(2k-1)=-2得k=1
所以直线l方程为y=x-1