Question

求不定积分∫√(x - x^2）dx

不用换元法 怎么做

Answer 1

∫√(x - x^2）dx=(1/4)arcsin(2x-1)+(1/4)(2x-1)√(x-x²)+C

设2x-1=sinθ，则

2dx=cosθdθ且

cosθ=2√(x-x²)

∴∫√(x-x²)dx

=(1/4)∫√[1-(2x-1)²]d(2x-1)

=(1/2)∫cos²θdθ

=(1/4)∫(1+cos2θ)dθ

=(1/4)θ+(1/8)sin2θ+C

=(1/4)arcsin(2x-1)+(1/4)(2x-1)√(x-x²)+C

不定积分解法

1、凑微分法：把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。

2、换元法：包括整体换元，部分换元。还可分三角函数换元，指数换元，对数换元，倒数换元等等。须灵活运用。

3、分部积分法：利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。

Answer 2

根式里先配方，再利用三角换元法，去掉根号

Answer 3

设2x-1=sinθ，则

2dx=cosθdθ且

cosθ=2√(x-x²)

∴∫√(x-x²)dx

=(1/4)∫√[1-(2x-1)²]d(2x-1)

=(1/2)∫cos²θdθ

=(1/4)∫(1+cos2θ)dθ

=(1/4)θ+(1/8)sin2θ+C

=(1/4)arcsin(2x-1)+(1/4)(2x-1)√(x-x²)+C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 4

设2x-1=sinθ，则
2dx=cosθdθ且
cosθ=2√(x-x²)
∴∫√(x-x²)dx
=(1/4)∫√[1-(2x-1)²]d(2x-1)
=(1/2)∫cos²θdθ
=(1/4)∫(1+cos2θ)dθ
=(1/4)θ+(1/8)sin2θ+C
=(1/4)arcsin(2x-1)+(1/4)(2x-1)√(x-x²)+C