Question

求向量组的秩和一个最大无关组

求向量组a1=(2,1,4,3),a2=(-1,1,-6,6),a3=(-1,-2,2,-9),a4=(1,1,2,7),a5=(2,4,8,9)的一个极大线性无关向量组

Answer 1

解题方法：将行向量转置为列向量，构成矩阵B经过初等行变换为行阶梯形矩阵，求出矩阵的秩，秩就是最大无关组所含向量个数
根据的定理：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.

上述所用定理证明

矩阵的秩等于它的列向量组的秩.设A=(a...an), R(A)=r, r阶子式D≠0，D所在的r列构成的nxr矩阵的秩为r，此r列线性无关;又因为A中所有r+1阶子式均为零，所以A中任意r+1个列向量构成的n×(r+1)矩阵的秩小于r+ 1,故此r+1列线性相关. D所在的r列构成A的列向量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩为r。A∧T的秩等于A∧T的列向量组的秩，而R(A∧T )=R(A)，A∧T的列向量组就是A的行向量组，所以矩阵的秩也等于它的行向量组的秩。