Question

速度解决。初二上学期数学题。

在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE‖AC交AB于点E，PF‖AB交BC于点D，交AC于点F．
若点P在BC边上（如图14），此时，可得结论：PD+PE+PF=AB ．
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在△ABC内（如图14），△ABC外（如图14③）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明。

如果是从别的地方复制过来的话，请告诉我答案中的“DFE为等腰三角形”是什么好吗。谢谢。

Answer 1

由于初二上还没接触平行四边形
因此可以用夹在平行直线中的平行线段相等（小学曾经接触过的）

图1
有BF=DE（等腰），AE=DF（用夹在平行直线中的平行线段相等），PD=0
所以PD+PE+PF=AB

图2,过P做PG平行于BC交AB于G，
有BG=PD（用夹在平行直线中的平行线段相等）,EG=PE（等腰）,AE=PF（用夹在平行直线中的平行线段相等）
所以PD+PE+PF=AB

图3，过P做PG平行于BC交AB延长线于G，
有BG=PD（用夹在平行直线中的平行线段相等）,EG=PE（等腰）,AE=PF（用夹在平行直线中的平行线段相等）
所以AB+PD=PE+PF

另外DFE不是等腰三角形
等腰三角形是BED,或者PEG,根据同位角证明

Answer 2

∵PF‖ AB
∴∠ABC=∠FPC
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴FP=FC
∵AB‖PF,PE‖AC
∴四边形AEPF为平行四边形（小学学过的知识点）
∴EP=AE
∵P、D为同一点，即PD=0

图2，此结论按照上述方法证明依旧成立

图3，由上述方法，可以证明PE=AF,DF=FC
∵PF=PD+DF
∴AC=PE+PF-PD
∴PD+PE+PF=AB