高数,第(5)题,要过程,谢谢!!
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你可以试试微分算子法
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求微分方程 y''-y'-2y=4x²满足y(0)=0,y'(0)=2的特解;
解:齐次方程 y''-y'-2y=0的特征方程 r²-r-2=(r-2)(r+1)=0的根r₁=-1,r₂=2;
因此齐次方程的通解为:y=C₁e^(-x)+C₂e^(2x);
设特解为:y*=ax²+bx+c; y*'=2ax+b; y*''=2a;
代入原式得:2a-(2ax+b)-2(ax²+bx+c)=-2ax²-2(a+b)x+2a-2c=4x²;
∴-2a=4,即a=-2; -2(a+b)=-2(-2+b)=4-2b=0,故b=2;
2(a-c)=2(-2-c)=-4-2c=0,∴ c=-2;
故特解 y*=-2x²+2x-2;
于是得通解:y=C₁e^(-x)+C₂e^(2x)-2x²+2x-2;
代入初始条件y(0)=0,得 C₁+C₂=2.................①
再代入初始条件y'(0)=2,∵y'=-C₁e^(-x)+2C₂e^(2x)-4x+2,
故有 -C₁+2C₂+2=2,即有-C₁+2C₂=0............②
①+②得3C₂=2,故C₂=2/3; C₁=2C₂=4/3;
∴满足初始条件的特解为:y=(4/3)e^(-x)+(2/3)e^(2x)-2x²+2x-2;
解:齐次方程 y''-y'-2y=0的特征方程 r²-r-2=(r-2)(r+1)=0的根r₁=-1,r₂=2;
因此齐次方程的通解为:y=C₁e^(-x)+C₂e^(2x);
设特解为:y*=ax²+bx+c; y*'=2ax+b; y*''=2a;
代入原式得:2a-(2ax+b)-2(ax²+bx+c)=-2ax²-2(a+b)x+2a-2c=4x²;
∴-2a=4,即a=-2; -2(a+b)=-2(-2+b)=4-2b=0,故b=2;
2(a-c)=2(-2-c)=-4-2c=0,∴ c=-2;
故特解 y*=-2x²+2x-2;
于是得通解:y=C₁e^(-x)+C₂e^(2x)-2x²+2x-2;
代入初始条件y(0)=0,得 C₁+C₂=2.................①
再代入初始条件y'(0)=2,∵y'=-C₁e^(-x)+2C₂e^(2x)-4x+2,
故有 -C₁+2C₂+2=2,即有-C₁+2C₂=0............②
①+②得3C₂=2,故C₂=2/3; C₁=2C₂=4/3;
∴满足初始条件的特解为:y=(4/3)e^(-x)+(2/3)e^(2x)-2x²+2x-2;
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