Question

如图，证明函数在x=0处连续时，图中δ如何取值？

本来在学二元函数，突然忘了函数连续性的证明里面的δ该如何取值

Answer 1

分析：本题考查极限定义
解：
极限定义的本质就是：
∀ε>0，∃δ>0，满足给定的不等式，则极限存在
这里δ的取值必须是在∀ε>0的条件下，可以求得
根据题意，不等式如下：
√(x²+y²)=ρ<δ(ρ)
|f(x)-f(0)|<ε(δ)
因此：
若要满足：
x²<ε(δ)=ε[δ(ρ)]
既是要满足：
x²<(x²+y²)<δ²<ε
而：
x²<(x²+y²)恒成立
因此：
δ²<ε，
即：δ<√ε 即可
根据题设：
取：
δ=√(ε/2)，此时：
δ²<ε/2
此时满足：
√(x²+y²)<ε/2<ε
则：
|f(x)-f(0)|=x²<√(x²+y²)<ε/2<ε
满足条件
实际上：你只要取值0<δ<√ε，都可以