Question

一道高二数学题

一直线l与曲线x^2=16y相交于A，B两点，AB的中点为M（-2，3），求直线l的方程

我是这样做的，把两个交点求出来，但是这样做，算起来很复杂，有没有其他简便的方法，在线等！

Answer 1

设A点坐标为（x1，y1）B点坐标为（x2，y2），列方程组x1^2=16y1,x2^2=16y2，两式相减并移项得斜率K=（y1-y2）÷(x1-x2)=(x1+x2)÷16，因为M为AB中点，所以x1+x2=-2×2=-4，所以AB斜率K=-4÷16=-1/4，又AB中点M(-2，3)，根据点斜式写出直线方程y-3=-1/4(x+2)，再化简一下就行了。别看我写得多，这个方法很简单，计算也很少的，很重要很常用的。 我用手机打的～

Answer 2

设A，B两点坐标分别为:(x1,y1),(x2,y2),直线AB的斜率为k,则有：
x1^2=16y1
x2^2=16y2
上面两式相减，得：
(x1+x2)(x1-x2)=16(y1-y2)

∴x1+x2=16(y1-y2))/(x1-x2)

∵(x1+x2)/2=-2,(y1-y2)/(x1-x2)=k

∴-4=16k

∴k=-1/4

∴直线l的方程为：y-3=(-1/4)(x+2)

即：x+4y-10=0

Answer 3

这是中点弦问题，用点差法可求。
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1^2=16y1,x2^2=16y2,两式相减得
(x1+x2)(x1-x2)=16(y1-y2)
因为AB的中点为M（-2，3），则x1+x2=-4,
所以(y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)/16=-1/4,
即直线l的斜率是-1/4,则直线l的方程是:
y-3=(-1/4)(x+2),即x+4y-10=0.

Answer 4

设直线l为y=kX+b
A（X1，y1）B（X2，y2）
将直线方程与抛物线联立
X^2=16y
则X^2-16kX-16b=0
X1+X2=16k
则y1+y2=k（X1+X2）+2b=16k^2+2b
AB中点M
则（X1+X2）/2=-2
（y1+y2）/2=3
16k=-4
k=-1/4
8k^2+b=3
b=5/2
则直线方程y=-X/4+5/2

Answer 5

直线过点M（-2，3）设直线l方程为：y-3=k（x+2）
带入曲线方程x^2=16y=16(k(x+2)+3)=>x^2-16kx-32k-48=0
这方程的两根x1，x2就是A，B两点的x坐标的值，（已知中点M（-2，3））
则有x1+x2=2*（-2）=-4
又由方程可得：16k=x1+x2=-4=>k=-1/4
直线l方程为：y=-x/4+5/2