Question

一阶线性微分方程的求法证明

Answer 1

一阶线性非齐次微分方程的解的特点就是：
其齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
也就是：
方程（12。10）的通解等于方程（12。11）的通解加上方程（12。10）的一个特解
证明应该是数学分析里有详细的严格证明。我只是做一推导：
首先，方程（12。10）的一个特解肯定是方程（12。10）的解。
设为y=f1(x)，则
f1’(x)+p(x)f1(x)=q(x)
其次，方程（12。10）的通解设为y=f2(x)
由(12.11)
，所以
f2’(x)+p(x)f2(x)=0
则y=f1(x)+f2(x)
可知。
[f1’(x)+f2’(x)]+p(x)[f1(x)+f2(x)]
=f1’(x)+p(x)f1(x)+f2’(x)+p(x)f2(x)
=q(x)
+0
=q(x)
所以f1(x)+f2(x)是方程（12。10）的解
同时，因为为一阶线性方程，所以，其解中一定要含有一个任意常数C
而一阶线性齐次方程（12。11）的通解必定含有一个任意常数C
所以，由以上可知：
f1(x)+f2(x)是方程（12。11）的通解
即：方程（12。10）的通解等于方程（12。11）的通解加上方程（12。10）的一个特解
说明，n阶微分方程有n个任意常数C

Answer 2

方程
dy/dx+p(x)y=q(x)

叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果
q(x)恒等于0
，则方程称为齐次的；
如果
q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。、
例如(1+x^2)dy=(x+y)dx
dy/dx=（x+y）/(1+x^2)=x/(1+x^2)+y/（1+x^2)
dy/dx-y/（1+x^2)=x/(1+x^2)
p(x)=-1/（1+x^2)
q(x)=x/(1+x^2)不恒等于0
所以是一阶线性非齐次方程