Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n属于N*）

Answer 1

sn
an=n
s（n-1）
a（n-1）=n-1
两式相减得sn-s（n-1）
an-a（n-1）=1，即2an-a（n-1）=1
即2an-2-a（n-1）
1=0
2（an-1）-（a（n-1）-1）=0
则an-1/a（n-1）-1=1/2
所以数列｛an-1｝是以1/2为公比的等比数列
又因为：s1
a1=2a1=1，所以a1=1/2，所以a1-1=-1/2
所以an-1=-1/2*（1/2）^n-1=-(1/2)^n
所以an=1-(1/2)^n

Answer 2

Sn+n=2an，S（n-1）+n-1=2a（n-1），相减得an+1=2（a（n-1）+1），又a1=1，所以an=2的n次方-1
bn=（2n+1）2^n，Tn为其前n项和，2Tn为（2n+1）2^（n+1）的前n项和，
2Tn-Tn=（2n+1）2^(n+1)-2(2^2+2^3+.......2^n)-3*2=（2n+1）2^(n+1)-2^(n+2)+2
（Tn-2）/
(2n-1)
=2^(n+1)>2010,所以取2^(n+1)=2048=2^11,所以n=10

Answer 3

1、证明：
Sn+n=2an，——》S1+1=a1+1=2a1，——》a1=1，
S(n-1)+(n-1)=2a(n-1)，
——》(Sn+n)-[S(n-1)+(n-1)]=an+1=2an-2a(n-1)，
——》(an+1)/[a(n-1)+1]=2，
即数列｛an+1｝为等比数列，其首项为a1+1=2，q=2，
——》an+1=2^n，
——》an=2^n-1；
（2）、bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)*2^n，
——》Tn=3*2+5*2^2+7*2^3+...+(2n-1)*2^(n-1)+(2n+1)*2^n，
——》Tn/2=3+5*2+7*2^2+...+(2n-1)*2^(n-2)+(2n+1)*2^(n-1)，
两式相减得：
Tn/2=-3-2[2+2^2+...+2^(n-1)]+(2n+1)*2^n=(2n-1)*2^n+1，
——》Tn=(2n-1)*2^(n+1)+2，
——》(Tn-2)/(2n-1)=2^(n+1)>=2^11=2048>2010
——》n>=10，
即n的最小值为10。