Question

在区间(0,2π)中将函数f=(π-x/)2展开为傅里叶级数

Answer 1

将f(x)=x2在(0，π)上展为余弦级数。

将函数f(x)偶延拓，则有：

bn=0

a0=2/π∫(π，0)

x2dx=2/3π2

an=2/π∫(π，0)x2cosnxdx=2/π[(x2/n

)sinnx+2x/n2cosnx-(2/n3)sinnx]|(上π，下0)

=(4/n2)*(-1)^n

故x2=2/3π2+4∑(∞，n=1)

(-1)^n/n2)cosnx

傅里叶原理表明：对于任何连续测量的数字信号，都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。

傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。

傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

函数
f(x)
在
[-π,π]
是偶函数，其傅里叶级数是余弦级数，先求傅里叶系数
　　　a(0)
=
(2/π)∫[0,π](π²-x²)dx
=
……，
　　　a(n)
=
(2/π)∫[0,π](π²-x²)cosnxdx
=
……，n≥1，
　　　b(n)
=
0，n≥1，
所以，
f(x)
在
[-π,π]
上的傅里叶级数（余弦级数）为
　　　f(x)
~
a(0)/2+∑(n≥1)a(n)cosnx
=
……，
（省略处留给你）
由于函数
f(x)
在
(-∞,+∞)
上是连续函数（作图），则该级数的和函数为
　　　s(x)
=
[f(x-0)+f(x+0)]/2
=
f(x)，x∈[-π,π]。

Answer 4

我就举个例子吧,希望对你有帮助.
你先用你自己的方法求级数∑(∞,n=1)
1/(2n-1)2的和.
再看一下下面的解法:
你将f(x)=x2在(0,π)上展为余弦级数.
将函数f(x)偶延拓,则有
bn=0,
a0=2/π∫(π,0)
x2dx=2/3π2,
an=2/π∫(π,0)x2cosnxdx=2/π[(x2/n
)sinnx+2x/n2cosnx-(2/n3)sinnx]|(上π,下0)
=(4/n2)*(-1)^n,
故
x2=2/3π2+4∑(∞,n=1)(
(-1)^n/n2)cosnx
(0