Question

在△ABC中，若∠BAC=90°，AC=AB，BE平分∠ABC，CE⊥BE。求证：CE=二分之一BD

Answer 1

设AB=AC=1
过D作DF垂直BC,垂足为F.
ABD与BDF全等,AD=DF,AB=BF
DFC为45度的直角三角形,DF=FC
AD=DF=FC=BC-BF=BC-AB=根2-1
延长CA至G点,使AG=1.连BG,作BH垂直BD,垂足为H
AG=AB=1,GB=根2
GD=AG+AD=1+根2-1=根2=AG
BGD是等腰三角形.
BH是垂线,也是中线.也是角平分线
BH=BD/2,
角BGH=角BGA/2=22.5度
角GBH=角CBE
角BHG=角BEC=90度
BG=CB=根2
三角形GBH与BCE全等
CE=BH=BD/2

Answer 2

解答：
设AB=AC=1，
则由勾股定理得：BC=√2，
过D点作BC的垂线，垂足为F点，
∵△ABC是等腰直角△，
∴∠ABC=∠ACB=45°
∴△DFC也是等腰直角△
则由角平分线定理得：
AD=FD，且BA=BF=1，
∴FC=FD=AD=√2－1
由勾股定理得：BD²=4－2√2
易证：△BAD∽△BEC
∴BD∶BC=AD∶EC
∴EC²=﹙√2－1﹚／√2
∴BD²／EC²=﹙4－2√2﹚／[﹙√2－1﹚／√2]=4
∴BD／EC=2
∴EC=½BD

Answer 3

证明：
延长BA、CE交于F。
∵∠BAC=90°
CE⊥BE
∴∠CAF=∠BAC=90°
∠BEC=∠BEF=90°
∴∠1+∠F=∠3+∠F=90°
∴∠1=∠3
∵BE平方∠ABC
∴∠1=∠2
在△BCE和△BFE中
∠1=∠2
∠BEC=∠BEF
BE=BE
∴△BCE全等△BFE（ASA）
∴CE=FE
即：CE=二分之一CF
在△ABD和△CAF中
∠1=∠3
AB=AC（已知）
∠BAD=∠CAF
∴△ABD全等△ACF（ASA）
∴BD=CF
∴CE=二分之一BD