Question

如何证明周长相同时圆面积最大

RT……

Answer 1

给定一个周长l，让我们假设存在（至少）一个图形，它的周长是l，
而它的面积是所有周长为l的图形里面最大的。

首先，它必须是凸的，也就是说，在它内部（包括边界）任取两点，
然后通过这两点作一条直线，那么这整条直线都在这个图形的内部。
因为如果这条直线有一部分露在外面，我们把这条直线新割过来的
面积加上旧有的面积，算作一个新图形，它的面积比原来的大，而
周长反而小了（两点之间，直线最短）。

然后在曲线上任取一点，则必然有对应的唯一一点，使得这两点把
曲线分成等长的两段，现在通过这两点作一直线，这条直线把图形
分成两块（因为它是凸的，所以不会分成更多块）。这两块的面积
一定是相同的，如果不是，把面积比较大的那块以直线为对称轴反
射到另一边，我们就会有一个比原来更大的图形，这就矛盾了。这
是我上次讲的。

现在我们就换到另一个问题：现在有长为l/2的曲线，怎样才能在一
条直线旁边围出一个面积尽量大的图形（直线算作一边）？我们要
证明这是个半圆，然后和上面的推理结合起来就证明了我们的定理。
假设曲线的端点是a，b，它们都在直线上。要证明这是个半圆，只
要证明对曲线上的任一点c，ac和bc成直角（为什么？这是中学几何，
如果你忘了，想想ab的中点o，以及oa，ob，oc的长度）。

在纸上画个图比较容易理解我下面要讲的。线段ac和bc把图形分成
了三块，两块象月亮，一块是个三角形。想象一下象月亮的两块是
由c点为关节的一对钳子，可以开合，a点固定而b点可以随着钳子的
开合在直线ab上移动，那么象月亮的两块的面积是不会变的，只有
当中的三角形面积才会变。什么时候三角形面积最大？当然是ac和
bc成直角的时候

Answer 2

周长为L(常数)的矩形中正方形面积最大.
证明:设矩形长为x,则宽为(L-2x)/2=(L/2-x)
面积y=x*(L/2-x)=-x^2+Lx/2,这个二次函数
在x=L/4时有最大值
∴矩形长L/4,宽为(L-2x)/2=(L/2-x)=L/4,
∴矩形中正方形面积最大

Answer 3

数学上证明需要用变分法,你的问题是变分法的一个原始问题.如果你没有这个能力的话,用数理结和的方法也能证明.具体操作如下:在一块平面膜中有一个不可伸长的闭合细绳,用针刺破细绳包围的膜,这样绳会受到外围膜对它的表面张力,达到一个稳定的图形,这个图形便是圆,这点你可以用受力分析来证明.我们又从物理上知道,这个物理情景的稳定状态必然是表面能，即膜的面积最小的时候,也就是说,要绳包围的面积最大,而结果是一个圆,所以在周长一定的情况下,圆的面积最大.谢谢!

Answer 4

http://zhidao.baidu.com/question/13264081.html?fr=qrl3
启发。呵呵