Question

为什么在周长相等的情况下,圆的面积最大?

Answer 1

周长相等：圆的面积最大
举例：如三角形、正方形、圆在周长均为12
1.三角形（拿等边三角形为例）：3X=12,则边长为4,高为2倍根号3,面积为4倍根号3
2.正方形：边长为3,面积为9
3.圆：2∏R=12,则R=∏分之6,则面积为=∏分之36
故：周长相等的情况下：圆面积>正方形面积>三角形面积
稍繁一点的
首先证明在边数相等的情况下正多边形的面积最大——比如若两相邻的边不等,容易证明在保持长度和不变的情况下一旦将它们换成相等时,比原面积要大,所以面积最大的是正多边形.然后证明边数约大面积越大,方法是将正多边形像切蛋糕那样从中心点切成一片一片三角形,每一个三角形的面积等于边长乘以中心到边的距离除以2,于是整个多边形的面积等于周长乘以中心到边的距离除以2,周长一定时,中心到边的距离越长,面积越大.可证,边长越多时中心到边的距离越大,因为中心到边的距离为cot2PI/2N * C/2N,分别代入N和N'后相除比较大小即可,当边长趋于无穷时,中心到边的距离趋近于中心到顶点的距离,这时候面积是最大的.