Question

一道初二几何题，麻烦各位学长或者老师帮我讲解下（详细）！

Answer 1

C\D应该调换一下,中间四边形各点标为M\N\O\P.(AF与EC交于M,与BG交于N,DH与BG交于O,与CE交于P)
△ABF≌△BDG
二直角边相等(AB=BC、BF=DG）,夹角相等(∠ABC=∠BCD=90度)
∠BAF=∠CBG
∠CBG+∠ABG=90
∴∠BAF+∠ABG=90
∴∠ANB=90
同理，可证明中间的中间的四个角全部是90度，则□
MNOP是长方形
通过三角形全等，△ABN≌△BCO≌△CDP≌△DAM
则AM=BN=CO=DP
AN=BO=CP=DM
MN=NO=OP=PM
则□
MNOP是正方形
DE∥BG
AE/EB=AM/MN=1/2
（EB=AB-AE=3AE-AE=2AE）
AE/AB=EM/BN=1/3
在RT△ABF中，AF^2=AB^2+BF^2
(AM+MN+NF)^2=AB^2+(AB/3)^2
{1/2MN+MN+[1/3*(1/2MN)]}=(10/9)AB^2
(10/6)MN^2=(10/9)AB^2
MN^2/AB^2=6/9=2/3、比例为2/3

Answer 2

设：AE=1,则AB=3
面积ABCD=3*3=9
面积ABF=1*3*0.5=1.5
面积（灰色）=1.5*4-面积（△AEP）*4
△APE相似△ABF
AF=根号（1+3²）=根号10
AF:AE=BF:EP
根号10:1=1:EP
EP=十分之根号10
同理AP:AB=AE:AF
AP:3=1:根号10
AP=十分之3倍根号10
面积△AEP=十分之根号10*十分之3倍根号10=3/10
面积（灰）=1.5*4-面积（△AEP）*4
=6-4*3/10
=4.8
所以
灰：ABCD=4.8：6=4/5

Answer 3

要说一下C与D要换一下（跟据以知得）
设AF与ED,BG的交点为M,N
HC与ED,BG的交点为O,P
得三角形ABF为直角三角形所以ABN,BCP,COD,DMA都为全等三角形
阴影内也是正方形
所以内正方形面积为：MN*PN=AB*BC-4*1/2AN*BN=MN*MN
AN=BP,AM=BN,2AE=AB,2AM=MN,AN=3BN
MN*MN=AB*AB-6AM*AM=AB*AB-3/2MN*MN
所以比为2:5
(第一次参与请见量）

Answer 4

C
D
2点位置对吗？
此题可用代数法界：
设AB=a则：
正方形面积=a*a
阴影面积=正方形面积-4*三角形面积
=a*a-4*1/2*1/3a*a
=1/3a*a
所以面积比为1：3

Answer 5

设AF交CE于A'，BG交AF于B'，BG交DH于C'，CE交DH于D'。令AB=a。由图的对称性可以得知AA'=BB'=CC'=DD'.AB'=BC'=CD'=DA'.不难证AF//DH,CE//BG.并且AF垂直于CE,因此阴影是正方形。
而且由等比定理知AA'=AB'/3。由射影定理知AB^2=AB'*AF。而AF=根号（10/9)a，因此AB'=根号(9/10)a。A'B'=2AB'/3。因此阴影面积=(A'B')^2=(2/5)a^2.与正方形ABCD的面积比为2：5