Question

微积分方程xy'-y=1+x³的通解是？

Answer 1

解;∵齐次方程xy'-y=0
==>dy/y=dx/x
==>ln│y│=ln│Cx│
(C是积分常数)
==>y=Cx
∴设原方程的解是y=C(x)x
(C(x)是关于x的函数)
∵y'=C'(x)x+C(x),把它带入原方程，得C'(x)=x+1/x²
∴C(x)=x²/2-1/x+C
(C是积分常数)
故原方程的通解是：y=x(x²/2-1/x+C)=x³/2-1+Cx
(C是积分常数)

Answer 2

解法1：
xy'-y=1+x^3
两边对x求导：
y'+xy''-y'=3x^2
xy''=3x^2
y''=3x
∫y''dx=∫3xdx+c
y'=(3/2)x^2+c
∫y'dx=(3/2)∫x^2dx+∫cdx+d
y=(1/2)x^3+cx+d
c、d是任意常数
由于开始两边求导，因此可能会伤害到常数，况且y的1
次导数的微分方程，只有一个任意常数项，因此带入到原方程，可求得d=-1
通解y=(1/2)x^3+cx-1
解法2：
xy'-
y=(x^2)(y/x)'=1+x^3
两边除以x^2:
(y/x)'=x+1/x^2
y/x=∫(x+1/x^2)dx+c
=(1/2)x^2-(1/x)+c
y=(1/2)x^3+cx-1