Question

正交矩阵的特征值一定是1或-1吗?

Answer 1

是。

(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα

= α^Tα = (α,α).

所以有 λ^2(α,α) = (α,α).

又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0.

所以 λ^2 = 1.

所以 λ = ±1.

即正交矩阵的特征值只能是1或-1。

如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。

正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

Answer 2

不一定，用（0 -1）（1 0）做行向量的矩阵是正交阵，特征值是i，-i

Answer 3

A逆✖️A＝E 然后两边直接加行列式