Question

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asin(A+C/2)=bsinA. ①求B

Answer 1

sin[(A+C)/2]=cos(B/2),
asin(A+C/2)=bsinA,由
正弦定理
，sinAcos(B/2)=sinBsinA,
所以cos(B/2)=2sin(B/2)cos(B/2),
sin(B/2)=1/2,
所以B/2=π/6，B=π/3.
②由正弦定理，a=csinA/sinC,
△ABC面积S=(1/2)acsinB=(√3/4)[sin(2π/3-C)/sinC=(√3/4)[(√3/2)cotC+1/2],
△ABC为
锐角三角形
,
所以C属于(π/6，π/2)，cotC的
值域
是(0,√3),
所以S的
取值范围
是（√3/8，√3/2）.

Answer 2

作一△abc
,
作
ad⊥
bc
于d
,
因
a=bd+cd=b*cosc+c*sinb
,
即∠bad=∠b
=45°,
△abd为等腰rt三角形
，
由面积得
a*c*sin45=4
,
即
a*c=4√2
,
ad=bd=√2/2
c
,
在rt
△adc中
ad^2+(a-bd)^2=b^2
即
c^2/2+a^2-√2
a*c+c^2/2=4
,
(a*c=4√2)
,
a^2+c^2
=12
,
即
(a+c)^2=12+2a*c
=12+8√2
所以
a+c
=√[12+8√2]
≈4.83
.