Question

怎么用定义来证明一个函数为无穷小?

Answer 1

证明：

对任意的ε>0，令│x│<1/2，则1/(x+1)<2。解不等式

│x/(1+x)│<│2x│=2│x│<ε

得│x│<ε/2，取δ=min[1/2,ε/2]。

于是，对任意的ε>0，总存在δ=min[1/2,ε/2]。当│x│<δ时，有│x/(1+x)│<ε。

即 lim(x->0)[x/(1+x)]=0。

无穷小性质：

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

8、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。