Question

数列极限唯一性的证明是什么？

Answer 1

证明如下：

假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a<b，任意给定ε＞0。总存在一个δ1>0，当0<丨x-x。丨＜δ1时，使得丨f（x）－a丨＜ε成立。

总存在一个δ2>0，当0<丨x-x。丨＜δ2时，使得丨f（x）－b丨＜ε成立。

上面的不等式可以等价变换为a-ε＜f（x）＜a+ε①和b-ε＜f（x）＜b+ε②。令δ＝min{δ1，δ2}，当0<丨x-x。丨＜δ时。①，②两个不等式同时成立。

因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。

即：b-ε≤a+ε，移项得：（b-a)/2≤ε，因为（b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。

数列极限的求法：

1、如果代入后，得到一个具体的数字，就是极限。

2、如果代入后，得到的是无穷大，答案就是极限不存在。

3、如果代入后，无法确定是具体数或是无穷大，就是不定式类型，

4、计算极限，就是计算趋势 tendency。

存在条件：

单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。

致密性定理，任何有界数列必有收敛的子列。