Question

已知四边形ABCD的面积为32，AB+BD+CD=16,求AC的长

Answer 1

解 令∠ABD为α∠BDC为β，边AB长为a边BD长为b边CD长为c 有以下等式：
a + b + c = 16
absinα /2+ bcsinβ/2 = 32

又sinα ≤1 sinβ≤1
则32 ＝ absinα /2+ bcsinβ/2 ≤ ab/2 + bc/2 ≤b(a+c)/2 ≤((b+a+c)/2)^2 /2 = (8)^2 /2 = 32
所以上式取等号的条件是：sinα ＝sinβ＝1,b=a+c=8
αβ都是直角,如果a>c,过C点做BD平行线,交AB于E,BE=CD,在直角三角形ACE中,可以解得AC=8√2.如果a<c,过A点做BD平行线,交CD于E,AB=DE,在直角三角形ACE中,可解得AC=8√2.
总上:AC=8√2.
注＾表示幂，如a^b就表示a的b次方,√表示根号,如√a表是根号a。
计算中用到了不等式法则：当a,b都为正数时ab≤((a+b)/2)^2当且仅当a=b时取等号。

Answer 2

算一个满足条件的特例吧。

AC&sup2;＝16+80+2×4×√80×4/√80＝128,AC＝8√2,[不知道是不是有别的答案]