Question

为什么实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数

Answer 1

实对称矩阵必可相似对角化

Answer 2

如果矩阵可以对角化，那么
非零
特征值
的个数就等于
矩阵的秩
，如果矩阵不可以对角化，那这个结论就不一定成立了
由于
对称矩阵
一定可以
对角化，因此对于对称矩阵来说，非零特征值的个数就等于矩阵的秩

Answer 3

前提条件是a可对角化
此时
存在可逆矩阵p满足
p^-1ap
=
对角矩阵
r(a)
=
r(p^-1ap)
=
r(对角矩阵)
=
非零特征值的个数
或者
应该是可对角化的矩阵的秩等于非零特征值的个数，矩阵与其对角阵秩必然相等，对角阵的秩为非零特征值的个数

Answer 4

可对角化时,
存在可逆矩阵P使得
P^-1AP=diag(a1,..,an)
则
R(A)
=
R(P^-1AP)
=
Rdiag(a1,...,an)
=
a1,...,an中非零元素的个数
而A的特征值即
a1,...,an
所以
R(A)
等于A的非零特征值的个数.