已知函数f(x)的是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-7x/x方+x+1
(1)求当x〈0时,f(x)的解析式(2)试确定函数y=f(x)(x≥0)的单调区间,并证明你的结论...
(1)求当x〈0时,f(x)的解析式 (2)试确定函数y=f(x)(x≥0)的单调区间,并证明你的结论
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解:
当x≥0时,f(x)=-7x/(x²+x+1)
(1)∵f(x)是偶函数
∴x<0时,f(x)=f(-x)=-7*(-x)/[(-x)²+(-x)+1]=7x/(x²-x+1)
(2)
分类讨论:
1)当x=0时,f(x)=0
2)当x>0时,f(x)=-7x/(x²+x+1)=-7/[x+(1/x)+1]
令u=x+(1/x)+1,则f(x)由f(u)=-7/u和u=x+(1/x)+1复合而成
在x>0的范围内,u恒大于1,f(u)恒小于0,也就是说u的整个值域都在f(u)的单调递减区间上
∴根据复合函数的增减性,知
u=x+(1/x)+1递增时,f(x)递减,u=x+(1/x)+1递减时,f(x)递增
而x+(1/x)是典型的对构函数,在(0,1)递减,在(1,+∞)递增
∴f(x)的递增区间是(0,1),递减区间是(1,+∞)
3)当x<0时,利用偶函数的性质,知单调区间也是对称的
∴单调递减区间是(-1,0),递增区间是(-∞,-1)
综上所述,
f(x)的递增区间是:(-∞,-1)和(0,1)
f(x)的递减区间是:(-1,0)和(0,+∞)
谢谢
当x≥0时,f(x)=-7x/(x²+x+1)
(1)∵f(x)是偶函数
∴x<0时,f(x)=f(-x)=-7*(-x)/[(-x)²+(-x)+1]=7x/(x²-x+1)
(2)
分类讨论:
1)当x=0时,f(x)=0
2)当x>0时,f(x)=-7x/(x²+x+1)=-7/[x+(1/x)+1]
令u=x+(1/x)+1,则f(x)由f(u)=-7/u和u=x+(1/x)+1复合而成
在x>0的范围内,u恒大于1,f(u)恒小于0,也就是说u的整个值域都在f(u)的单调递减区间上
∴根据复合函数的增减性,知
u=x+(1/x)+1递增时,f(x)递减,u=x+(1/x)+1递减时,f(x)递增
而x+(1/x)是典型的对构函数,在(0,1)递减,在(1,+∞)递增
∴f(x)的递增区间是(0,1),递减区间是(1,+∞)
3)当x<0时,利用偶函数的性质,知单调区间也是对称的
∴单调递减区间是(-1,0),递增区间是(-∞,-1)
综上所述,
f(x)的递增区间是:(-∞,-1)和(0,1)
f(x)的递减区间是:(-1,0)和(0,+∞)
谢谢
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(1)
f(-x)=f(x)=-7x/(x^2+x+1)
令t=-x,当t<0时:
f(t)=7t/(t^2-t+1)
所以x<0时的解析式为:
f(x)=7x/(x^2-x+1)
(2)
x≥0时,
f(x)=-7x/(x^2+x+1)=-7/(x+1/x+1)
而x+1/x+1≥2√(x·1/x)+1=3,当且仅当x=1/x时取得最小值
即x=1时,取最小值。
∴f(x)=-7/(x+1/x+1)在x=1时最大,单调区间为:[0,1]递减;(1,+∞)递增。
证明:设0≤x1<x2
f(x2)-f(x1)
=7x1/(x1^2+x1+1)-7x2/(x2^2+x2+1)
=7(x1x2-1)(x2-x1)/[(x1^2+x1+1)(x2^2+x2+1)]
上式中,(x2-x1)>0,(x1^2+x1+1)>0,(x2^2+x2+1)>0
故符号仅与(x1x2-1)值的正负符号相同。
a.当x1<x2≤1时,
x1x2<1,(x1x2-1)<0,
即f(x2)-f(x1)<0,
f(x2)<f(x1),函数单调递减!
b.当1≤x1<x2时,
x1x2>1,(x1x2-1)>0,
即f(x2)-f(x1)>0,
f(x2)>f(x1),函数单调递增!
证毕!
f(-x)=f(x)=-7x/(x^2+x+1)
令t=-x,当t<0时:
f(t)=7t/(t^2-t+1)
所以x<0时的解析式为:
f(x)=7x/(x^2-x+1)
(2)
x≥0时,
f(x)=-7x/(x^2+x+1)=-7/(x+1/x+1)
而x+1/x+1≥2√(x·1/x)+1=3,当且仅当x=1/x时取得最小值
即x=1时,取最小值。
∴f(x)=-7/(x+1/x+1)在x=1时最大,单调区间为:[0,1]递减;(1,+∞)递增。
证明:设0≤x1<x2
f(x2)-f(x1)
=7x1/(x1^2+x1+1)-7x2/(x2^2+x2+1)
=7(x1x2-1)(x2-x1)/[(x1^2+x1+1)(x2^2+x2+1)]
上式中,(x2-x1)>0,(x1^2+x1+1)>0,(x2^2+x2+1)>0
故符号仅与(x1x2-1)值的正负符号相同。
a.当x1<x2≤1时,
x1x2<1,(x1x2-1)<0,
即f(x2)-f(x1)<0,
f(x2)<f(x1),函数单调递减!
b.当1≤x1<x2时,
x1x2>1,(x1x2-1)>0,
即f(x2)-f(x1)>0,
f(x2)>f(x1),函数单调递增!
证毕!
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