Question

已知函数f(x)的是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x)=-7x/x方+x+1

（1）求当x〈0时，f(x)的解析式 （2）试确定函数y=f(x)（x≥0）的单调区间，并证明你的结论

Answer 1

解：

当x≥0时，f(x)=-7x/(x²+x+1)

(1)∵f(x)是偶函数

∴x＜0时，f(x)=f(-x)=-7*(-x)/[(-x)²+(-x)+1]=7x/(x²-x+1)

(2)

分类讨论：

1)当x=0时，f(x)=0

2)当x＞0时，f(x)=-7x/(x²+x+1)=-7/[x+(1/x)+1]

令u=x+(1/x)+1，则f(x)由f(u)=-7/u和u=x+(1/x)+1复合而成

在x＞0的范围内，u恒大于1，f(u)恒小于0，也就是说u的整个值域都在f(u)的单调递减区间上

∴根据复合函数的增减性，知

u=x+(1/x)+1递增时，f(x)递减，u=x+(1/x)+1递减时，f(x)递增

而x+(1/x)是典型的对构函数，在(0,1)递减，在(1,+∞)递增

∴f(x)的递增区间是(0,1)，递减区间是（1，+∞)

3)当x＜0时，利用偶函数的性质，知单调区间也是对称的

∴单调递减区间是(-1,0)，递增区间是(-∞，-1)

综上所述，

f(x)的递增区间是:(-∞，-1)和(0,1)

f(x)的递减区间是:(-1,0)和(0,+∞）

谢谢

Answer 2

(1)
f(-x)=f(x)=-7x/(x^2+x+1)
令t=-x,当t<0时：
f(t)＝7t/(t^2-t+1)

所以x<0时的解析式为：
f(x)=7x/(x^2-x+1)

(2)
x≥0时，
f(x)=-7x/(x^2+x+1)＝-7/(x+1/x+1)
而x+1/x+1≥2√(x·1/x)+1＝3,当且仅当x=1/x时取得最小值
即x=1时，取最小值。
∴f(x)=-7/(x+1/x+1)在x=1时最大，单调区间为：[0,1]递减；(1,+∞)递增。

证明：设0≤x1<x2
f(x2)-f(x1)
＝7x1/(x1^2+x1+1)-7x2/(x2^2+x2+1)
＝7(x1x2-1)(x2-x1)/[(x1^2+x1+1)(x2^2+x2+1)]
上式中，(x2-x1)>0,(x1^2+x1+1)>0,(x2^2+x2+1)>0
故符号仅与(x1x2-1)值的正负符号相同。
a.当x1<x2≤1时，
x1x2<1,(x1x2-1)<0,
即f(x2)-f(x1)<0,
f(x2)<f(x1),函数单调递减！

b.当1≤x1<x2时，
x1x2>1,(x1x2-1)>0,
即f(x2)-f(x1)>0,
f(x2)>f(x1),函数单调递增！

证毕！