Question

1/√(1-x^2)的不定积分是什么?

Answer 1

1/根号下(1-x^2)的不定积分是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C。

解：

x = sinθ，dx = cosθ dθ

∫ √(1 - x²) dx 

= ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) 

= ∫ cos²θ dθ

= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ 

= θ/2 + (sin2θ)/4 + C

= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C

= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C

= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

所以1/根号下(1-x^2)的不定积分是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C。

根据牛顿-莱布尼茨公式

许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。