Question

矩阵的秩是怎么定义的,以及为什么要这么定义

Answer 1

矩阵的秩的定义：是其行向量或列向量的极大无关组中包含向量的个数。

能这么定义的根本原因是：矩阵的行秩和列秩相等（证明可利用n+1个n维向量必线性相关）

矩阵的秩的几何意义如下：在n维线性空间V中定义线性变换，可以证明：在一组给定的基下，任一个线性变换都可以与一个n阶矩阵一一对应；而且保持线性；换言之，所有线性变换组成的空间End<F>(V)与所有矩阵组成的空间M(n)<F>是同构的。

扩展资料：

A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V

U和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。

如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。

SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。

参考资料来源：百度百科——矩阵的秩