Question

若f(x)在[a,b]上连续，a<x1<x2<……<xn<b（n>2),则在（x1，xn）内至少有一点u,使f（u）=[f(x1)+f(x2)+……

若f(x)在[a,b]上连续，a<x1<x2<……<xn<b（n>2),则在（x1，xn）内至少有一点u,使f（u）=[f(x1)+f(x2)+……f(xn)]/n,如何证明？

Answer 1

f(x)在[a,b]上连续,则在[x1,xn]上连续，则在[x1,xn]上必能取得最大和最小值，M和m

设f(c)=M,f(d)=m 其中 c,d在x1,和x2之间(有可能在端点)

如果M=m，说明f(x)是常数函数，结论是显然的。

如果M≠m，则c≠d.
这里有）[f(x1)+f(x2)+……f(xn)]/n <= (M+M+...M)/n=M=f(c) (右边的每一个放大成M)

同样 [f(x1)+f(x2)+……f(xn)]/n >= m ，由于m,M不等，所以两个不等式等号不会同时成立

如果两个等号都不成立，由介值定理，存在p在c,d之间(这里可以不包含端点)，c,d又在[x1,xn]之间。
x1<p<xn，使得那等式成立。
如果有一个等号成立（这里不妨设第一个等号成立）

那么必有 f(x2)=M,而x1<x2<xn,x2就为所求

故命题成立