F(x)=∫(a, x) f'(t) dt=?

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一粥美食
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2023-01-13 · 专注为您带来别样视角的美食解说
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F(x) = ∫(a,x) xf(t) dt

F(x) = x∫(a,x) f(t) dt

F'(x) = ∫(a,x) f(t) dt + x * [x' * f(x) - a' * f(a)]

= (1/x)F(x) + x * [1 * f(x) - 0 * f(a)],下限a的导数是0,所以整体都会变为0

= (1/x)F(x) + xf(x)

求导注意事项:

(1)区间a可为-∞,b可为+∞;

(2)此定理是变限积分的最重要的性质,掌握此定理需要注意两点:第一,下限为常数,上限为参变量x(不是含x的其他表达式);第二,被积函数f(x)中只含积分变量t,不含参变量x。

原函数存在定理

若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

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