F'(x)=∫(a, x) f(t) dt=?

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小铅笔大梦想
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积分求导公式为:F(x) = ∫(a,x) xf(t) dt。

F'(x) = ∫(a,x) f(t) dt + x * [x' * f(x) - a' * f(a)]

= (1/x)F(x) + x * [1 * f(x) - 0 * f(a)](下限a的导数是0,所以整体都会变为0)

= (1/x)F(x) + xf(x)

积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数,一般进行计算求导的时候都转换为变上限积分求导。如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数在[a,b]上具有导数。

若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数,这就是积分变限函数。

积分变限函数是一类重要的函数,它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中。事实上,积分变限函数是产生新函数的重要工具,尤其是它能表示非初等函数,同时能将积分学问题转化为微分学问题。

积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外,在许多场合都有重要的应用。



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