Question

高数极限求助

请问这个极限为什么不能这样做😢是这种情况不能等价代换吗？
正确做法是通分做的，算出来是三分之四

Answer 1

求极限时，使用等价无穷小的条件：
1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0
2、被代换的量，作为被乘或被除元素时才可以用等价无穷小代换，作为加减元素时不可以
因为图中的1/sin²x是加减项，所以不能直接替换为1/x²，要先通分。具体做法为：
原式=lim{x→0} (x²-sin²xcos²x)/(sin²x·x²) （此时sin²x作为被除项可替换为x²）

=lim{x→0} [x²-(sin2x/2)²/(x⁴) （满足0/0条件，使用洛必达法则）
=lim{x→0} (2x-sin4x/2)/(4x³) （满足0/0条件，使用洛必达法则）
=lim{x→0} (2x-2cos4x)/(12x²) （分子2(x-cos4x)作为被乘项可替换为(4x)²）
=lim{x→0} (4x)²/(12x²)=4/3