Question

证明拉格朗日中值定理

Answer 1

自己一直用史济怀老师的视频和教材学习数学分析。对于史济怀老师证明拉格朗日中值定理的方法感觉太突兀了，在看知乎关于史济怀老师那本书的评论时，甚至有人因为一个定理的证明就否定整本书，我觉得还是欠妥，我个人认为，史济怀老师的书以及讲课视频还是挺不错的。

下面步入正题。证明过程一般是用费马定理先证明罗尔定理，再根据罗尔定理证明拉格朗日中值定理。史济怀老师直接构造了一个函数，显得很突兀。我认为证明思路如下是比较好的（具体细节，如闭区间连续，开区间可导之类的话不再赘述）：

根据罗尔定理，如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

再看拉格朗日中值定理形式

为了证明，我们先变换一下

f(a)一 f(b)= f'(ξ)(a- b) …………………………式1

f(a)-f(b)- f'()(a-b) = 0 …………………式2

结合罗尔定理，我们很自然联想到式2左边是某个函数的导数就好了。因此可以很容易联想到下面的函数：

g(a)=(f(a)- f(b))z - f(c)(a - b) …………式3

很容易验证，式3的导数就是式2左边部分，且

g(a)=g(b)= bf(a) - af(b) …………式4

根据罗尔定理存在 ξ∈(a,b)使得

f'(ξ)=0,

即式2成立，由此，拉格朗日中值定理得证。

同样的思路也可以用在柯西（Cauthy）中值定理证明。