Question

已知函数f(x)=(lnx+a)/x (a∈R) 当a=1,且x≥1时，证明f(x)≤1

Answer 1

只需要证明 lnx+1≤x 就可以了

令g(x)=lnx - x +1
g'(x)=1/x-1
而x>=1时，g'(x)<=0

所以g(x)是减函数
所以g(x)=lnx - x +1<=g(1)<=0

所以lnx+1≤x

所以f(x)=(lnx+a)/x (a∈R) 当a=1,且x≥1时，f(x)=(lnx+1)/x≤1

Answer 2

由f（x）=（lnx+a）/x，
当a=1时：f（x）=（lnx+1）/x，
=（lnx+lne）/lne^x(e的x次方）
=lnex/lne^x,
当x=1时，正比例函数ex与指数函数e^相等，
当x＞1时，( ex-e^x)′=e-e^x＜0
∴当x≥1时，ex≤e^x,
∴0＜f(x)≤1.
证毕。

Answer 3

=(lnx+1)/x
求导
f'(x)=1/xx-(1/xx)lnx-1/xx=-(1/xx)lnx
故f(x)为单调减函数
后面不用说了吧
f(x)<=f(1)=1