如何求函数的极限?
一、利用极限四则运算法则求极限
函数极限的四则运算法则:设有函数,若在自变量f(x),g(x)的同一变化过程中,有limf(x)=A,limg(x)=B,则
lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B
lim[f(x)・g(x)]=limf(x)・limg(x)=A・B
lim==(B≠0)
(类似的有数列极限四则运算法则)现以讨论函数为例。
对于和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则,但使用这些法则,往往要根据具体的函数特点,先对函数做某些恒等变形或化简,再使用极限的四则运算法则。方法有:
1.直接代入法
对于初等函数f(x)的极限f(x),若f(x)在x点处的函数值f(x)存在,则f(x)=f(x)。
直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式,若有意义,其极限就是该函数值。
2.无穷大与无穷小的转换法
在相同的变化过程中,若变量不取零值,则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。
(1)当分母的极限是“0”,而分子的极限不是“0”时,不能直接用极限的商的运算法则,而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系,先求其的极限,从而得出f(x)的极限。
(2)当分母的极限为∞,分子是常量时,则f(x)极限为0。
3.除以适当无穷大法
对于极限是“”型,不能直接用极限的商的运算法则,必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。
4.有理化法
适用于带根式的极限。
二、利用夹逼准则求极限
函数极限的夹逼定理:设函数f(x),g(x),h(x),在x的某一去心邻域内(或|x|>N)有定义,若①f(x)≤g(x)≤h(x);②f(x)=h(x)=A(或f(x)=h(x)=A),则g(x)(或g(x))存在,且g(x)=A(或g(x)=A)。(类似的可以得数列极限的夹逼定理)
利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。
三、利用单调有界准则求极限
单调有界准则:单调有界数列必有极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程,可求出极限。
四、利用等价无穷小代换求极限
常见等价无穷小量的例子有:当x→0时,sinx~x;tanx~x;1-cosx~x;e-1~x;ln(1+x)~x;arcsinx~x;arctanx~x;(1+x)-1~x。
等价无穷小的代换定理:设α(x),α′(x),β(x)和β′(x)都是自变量x在同一变化过程中的无穷小,且α(x)~α′(x),β(x)~β′(x),lim存在,则lim=lim。
五、利用无穷小量性质求极限
在无穷小量性质中,特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。
六、利用两个重要极限求极限
使用两个重要极限=1和(1+)=e求极限时,关键在于对所给的函数或数列作适当的变形,使之具有相应的形式,有时也可通过变量替换使问题简化。
七、利用洛必达法则求极限
如果当x→a(或x→∞)时,两个函数f(x)与g(x)都趋于零或趋于无穷小,则可能存在,也可能不存在,通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式,对于该类极限一般不能运用极限运算法则,但可以利用洛必达法则求极限。