Question

设z=z(x,y)是由方程 3xy+2x-4y-z=e^2 确定的隐函数,且z(1,1)=0,则？

Answer 1

首先将方程 3xy+2x-4y-z=e^2 移项得到 z=3xy+2x-4y-e^2。因此，我们可以用隐函数求导法来求解z关于x和y的偏导数：
∂z/∂x = 3y + 2
∂z/∂y = 3x - 4
因此，z关于x和y的偏导数分别为 3y+2 和 3x-4。由于 z(1,1)=0，所以我们可以计算出：
z(x,y) = ∫(3y+2)dx = 3xy+2x+f(y)
对z(x,y)求y的偏导数：
∂z/∂y = 3x + f'(y)
由于 ∂z/∂y = 3x-4，因此可以得到 f'(y) = -4，即 f(y) = -4y + C，其中C为任意常数。
因此，z(x,y) = 3xy + 2x - 4y + C，将初始条件z(1,1) = 0代入得到 C = 1，因此
z(x,y) = 3xy + 2x - 4y + 1
最终结果为 3xy + 2x - 4y + 1。

Answer 2

首先根据隐函数求导公式，有：

dz/dx = - (∂F/∂x)/(∂F/∂z) = -(2+3y)/(1-e^(-2))

dz/dy = - (∂F/∂y)/(∂F/∂z) = -(3x-4)/(1-e^(-2))

将点（1,1）代入上述两式，得：

dz/dx = -(2+3)/(1-e^(-2)) = -5/e^(-1) = -5e

dz/dy = -(3-4)/(1-e^(-2)) = 1/e^(-1) = e

因此在点（1,1）处的切向量为（-5e，e）。

最后需要验证z（1，1）=0是否满足隐函数方程，即：

3xy+2x-4y-z=e^2

3(1)(1) + 2(1) - 4(1) - 0 = e^2

e^2 - 5 = 0

可得e = sqrt(5)或e = -sqrt(5)。

因此，在点（1，1）处z的值为0，根据方程 z = z（x，y），可知隐函数为 z = f(x,y)，因此在点（1，1）处的隐函数为：

z(x, y) = e - 5xy/ 2 ，其中 e = sqrt(5)。