Question

在等差数列｛an｝中，a16+a17+a18=a9=-36，其前n项和为Sn。（1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值n的值（2

在等差数列｛an｝中，a16+a17+a18=a9=-36，其前n项和为Sn。（1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值n的值（2）求Tn=a1的绝对值+a2的绝对值+……+an的绝对值

Answer 1

解：设等差数列为：an=a1+(n-1)d
1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值n的值
则：a16=a1+15d ------(1)
a17=a1+16d ------(2)
a18=a1+17d ------(3)
a9=a1+8d ------(4)
a16+a17+a18=3a1+3*16d=-36
由已知a16+a17+a18=a9=-36得：
a1+8d=-36 ----------(a)
a1+16d=-12 --------(b)
求解方程(a)和(b)：(b)-(a)=8d=24
d=3
a1=-60
sn=(a1+an)n/2=(-60+3(n-1))n/2=3n*n/2-63n
根据导数的意义，函数的导数>0，说明是曾函数，<0则说明是减函数
对sn求导数得sn’=3n-63
很明显sn’>=0时，n>=21
sn’<=0时，n<=21
即n=20.5时，sn 取最小值，有因为n为整数，则n=21
同样，在求得d=3和a1=-60后，可得到改数列的通项公式为：an=-60+(n-1)*3
可知，在an>=0以后，sn的值开始增加，那么an=-60+(n-1)*3=0，则n=21
有因为n=21的时候a21=0，所以s20和s21的值是一样的
得s20= s21 =20*(-60+0)/2=-600
2）求Tn=a1的绝对值+a2的绝对值+……+an的绝对值
由1）可得：an=-60+(n-1)*3
那么s21的绝对值=600----------------------------------（a）
s22以后为正数
用等差数列的求和公式
sn=(a1+an)n/2=(-60+3(n-1))n/2=3n*n/2-63n--------------（b）
结合(a)(b)两式得
Tn=Sn+1200
=3n*n/2-63n+1200

Answer 2

由}│a5│=│a9│公差d0，
可知，当an小于等于0的所有项的和才是最小的；
a5=a1+4d ①
a9=a1+8d ②
②-①，
a9-a5=4d ③
因为d0,
所以a5不等于a9，
所以a9=-a5 ④
④代入①得 a5=-2d ⑤
⑤代入①得 a1=-6d ⑥
则an=(n-7)d
当 n=7时n=7时，a7=0
当n=6或者7时，Sn取得最小值

Answer 3

(1) 由于是等差数列 故an=a1+(n-1)d (a1为首相 d为公差)
故 a1+15d+a1+16d+a1+17d=3a1+48d=-36 （一式）
a1+8d=-36 （二式）
解一二式的方程组得 a1=-60 d=3
故sn=(a1+an)*n/2=(3n^2-123n)/2
sn+1>sn
sn-1>sn
即（3（n+1）^2-123(n+1)）/2>(3n^2-123n)/2
（3（n-1）^2-123(n-1)）/2>(3n^2-123n)/2
解得 n>20且n<21
将n=20 n=21 分别代入sn中比较知s20=-630=s21
故sn的最小值为-630 相应的n为20 和21
（2）Tn=|a1|+|a2|+……+|an| 相当于首相为60 公差为3的等差数列
故Tn=（3n^2+117n）/2

Answer 4

提供思路：
1.a16+a17+a18=a9=-36可以算出首相a1及公差d
继而算出Sn
第一问就是问数列中第几项是最后一个负数
2.假如上面Smin是Sn的最小值
Tm=Sm-2Smin 或者 Tm=-Smin （取决于m和1问中n值之间的大小）