Question

一道高等代数题，请高手相助

设A是m*n矩阵，B是n*s矩阵，证明：若AB=0，那么r（A）+r(B)<=n

Answer 1

B=0时显然，现设B≠0
B按列分块B=（β1，β2，...βs），则β1，β2，...βs中至少有一个是非零向量。
由AB=A（β1，β2，...βs）=（Aβ1，Aβ2，...Aβs）=0
得Aβj=θ （j=1,2，...，s）
所以B的每个列向量都是齐次线性方程组AX=θ的解向量。
说明AX=θ有非零解，从而有基础解析η1，η2，...，ηn-r，其中R（A）=r。
而B的列向量都可由η1，η2，...，ηn-r线性表示，所以
R（B）≤R（η1，η2，...，ηn-r）=n-R（A）
所以r（A）+r(B)<=n

好难打啊。。。

Answer 2

这是线性代数，我挂了，不提了，拿分走人