Question

设a是实数，f(x)=a-2/(2^x+1) (x∈R）证明对于任意a，f(x)为增函数

用定义法证明！thanks

Answer 1

证明：设x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=[a-2/(2^x1+1)]-[a-2/(2^x2+1)]
=2/(2^x2+1)-2/(2^x1+1)
=2[2^x1+1-2^x2-1]/[(2^x2+1)(2^x1+1)]
=2(2^x1-2^x2)/[(2^x2+1)(2^x1+1)]
∵x1<x2
∴0<2^x1<2^x2
∴2^x1-2^x2<0,且(2^x2+1)(2^x1+1)＞0
∴f(x1)-f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
∴对于任意a,f(x)为增函数

Answer 2

定义域R
令t=2^x,则t>0,当x属于R时,t=2^x单调递增
又y=g(t)=a-2/(t+1)在t>0时单调递增
由复合函数单调性的定义,函数f(x)=a-2/(2^x+1) (x∈R）在R上单调递增