Question

傅里叶级数的收敛性证明

Answer 1

第一步：计算傅里叶系数

根据周期函数的定积分性质，由以下公式计算函数f(x)在任意区间长度为2π的区间上的定积分.一般取为直接定义函数的一个周期区间。常取为[-π, π]，即

第二步：以傅里叶系数为系数，写出三角级数

第三步：基于狄利克雷收敛定理判定傅里叶级数的收敛性

狄利克雷收敛定理：如果周期为2π的周期函数f(x)在一个周期上分段连续，并且在一个周期上只有有限个极值点和有限个第一类间断点，则函数f(x)的傅立叶级数收敛，并且有

期函数f(x)在一个周期上分段连续，并且在一个周期上只有有限个极值点和有限个第一类间断点，则函数f(x)的傅立叶级数收敛，并且有

其中f(x+0)和f(x-0)分别为函数f(x)在点x处的右极限与左极限．即在连续点处傅里叶级数收敛于函数本身S(x)=f(x)；在间断点处收敛于该点左、右极限的算术平均值．

第四步：函数展开成傅里叶级数

依据定理得到和函数等于被展开函数f(x)的集合I，最终写出附带集合I的等式

注意点：

傅立叶级数的部分和有很好的整体逼近性质，幂级数的局部逼近性质比较好．幂级数展开需要函数有很好的“光滑性”，傅里叶级数对“光滑性”的要求较低。

如果函数为奇函数，则函数的傅里叶级数仅仅包含正弦项，则这样傅里叶级数称之为正弦级数，此时只需要计算傅里叶级数的系数bn(1，2，…)；如果函数为偶函数，则函数的傅里叶级数仅仅包含余弦项和常数项，则这样傅里叶级数称之为余弦级数，此时只需要计算傅里叶级数系数an(0，1，2，…)。

以上资料参考百度百科-傅里叶级数