Question

如何理解基本不等式的“一正二定三相等”？

Answer 1

“一正”：指两个式子都为正数；“二定”：指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”：指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

已知x＞0；y＞0，则：

如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值2。

如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值。

1、知识点：基本不等式的基本公式及变形，使用时要注意“一正二定三相等”，两个正数的调和平均数小于等于两个正数的几何平均数小于等于两个正数的算术平均数小于等于两个正数的平方平均数，两个正数平方和的两倍大于等于两个正数和的平方，凸函数、凹函数中的不等关系。

2、求最值：题型特点是两个式子中x的次数互为相反数，相乘后可以抵消掉；如果是以多项式为整体应用基本不等式，为了让多项式产生联系，通常采用对多项式加减常数来解决。

3、常用构造定值条件的技巧变换：（1）加项变换 （2）拆项变换 （3）统一变元 （4）平方后利用基本不等式。

4、分式结构的基本不等式题型分类及解决办法。一次比二次型、二次比一次型、二次比二次型：对一次比二次型、二次比一次型，通常令一次结构部分为t，将y化成关于t的函数，然后分子分母同除以t。对二次比二次型，通常先分离常数，然后再采用上述方法。