Question

已知AM是三角形ABC的边BC上的中线，求证：AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

我的财富过低啊没法给更多的分 请给位大侠帮助解决

Answer 1

过A作BC边上的高AE
因为:AE是高线
所以:AB^2=AE^2+BE^2=AE^2+(BM+ME)^2=AE^2+BM^2+2BM*ME+ME^2
AC^2=AE^2+EC^2=AE^2+(CM-ME)^2=AE^2+CM^2+2CM*ME+ME^2
因为:AM是中线
所以:BM=CM
所以:AB^2+AC^2=AE^2+BM^2+ME^2+AE^2+CM^2+ME^2
=2BM^2+2(AE^2+ME^2)
AE^2+ME^2=AM^2
所以:AB^2+AC^2=2BM^2+2AM^2=2(AM^2+BM^2)

Answer 2

延长AM至N，使得AN＝2AM
连接BN，则有：
NM＝AM (作图)
∠NMB＝∠AMC (对顶角相等)
BM＝CM (已知)
∴△NMB≌△AMC (SAS)
∴NB＝AC，∠MBN＝∠MCA
∴BN‖AC
∴∠ABN和∠BAC互补
∴cos∠ABN＝-cos∠BAC

由余弦定理，在△ABN中有：
AN^2＝AB^2＋BN^2－2·AB·BN·cos∠ABN
＝AB^2＋AC^2＋2·AB·AC·cos∠BAC………………(1)
在△ABC中有：
BC^2＝AB^2＋AC^2－2·AB·AC·cos∠BAC…………(2)
(1)＋(2)，得：
AN^2＋BC^2＝2(AB^2＋AC^2)
又AN^2＋BC^2＝(2AM)^2＋(2BM)^2＝4AM^2＋4BM^2＝2(2AM^2＋2BM^2)
∴AB^2＋AC^2＝2(AM^2＋BM^2)

Answer 3

余弦定理：AB^2=MA^2+MB^2-2MA*MB*cos(角AMB)
AC^2=MA^2+MC^2-2MA*MC*cos(角AMC)

角AMB+角AMC=180度，cos(角AMB)+cos(角AMC)=0

两式相加：AB^2+AC^2=2MA^2+MB^2+MC^2=2(AM^2+BM^2)