Question

、已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下,与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点,其中xl<x2 .

已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，
其中xl<x2．
(1)求m的取值范围；
(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；
(3)设这条抛物线的顶点为C，延长CA交y轴于点D．在y轴上是否存在点P，使以P、
0、B为顶点的三角形与△BCD相似?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明
理由．

Answer 1

1.∵抛物线开口向下 ∴1-m＜0 , 即： m＞1
∵抛物线与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点
∴b^2-4ac=16-4×(1-m)×(-3)=28-12m＞0 , 即：m＜7/3
∴1＜m＜7/3

2.x1^2 + x2^2=(x1+x2)^2 - 2x1x2=[4/(m-1)]^2 - 2×(-3)/(1-m) =10
解得：m=2或m=-3/5
∵抛物线开口向下
∴抛物线的解析式: y=-x^2 + 4x - 3

3.由题意得： 点A(1,0) ,点B(3,0) ,顶点C(2,1)
则过点C,点A的直线方程： y=x-1
可得点D的坐标是（0，-1）
|BC|=√[(2-3)^2 + (1-0)^2]=√2
同理：|CD|=2√2 , |BD|=√10
∵|BC|^2 + |CD|^2 = |BD|^2
∴DC⊥CB
∵PO⊥OB
∴设存在点P(0,y)使以P、0、B为顶点的三角形与△BCD相似
则有：PO/BC = OB/CD
即： y / √2 = 3 / 2√2
y=3/2
∴点P(0,3/2)

Answer 2

解：（1）1-m＜0 ＜1＞42-4(1-m)×(-3)＞0 ＜2＞​
由①式得：m＞1；
由②式得：m＜73
∴1＜m＜73；

（2）依题意有：x1+x2=4m-1，x1x2=3m-1，又x12+x22=10
∴（x1+x2）2-2x1x2=10
∴16(m-1)2-6m-1=10
化简得：[5（m-1）+8][（m-1）-1]=0
∴m=-35，m=2
由（1）值：m=-35应舍去，
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3；

（3）将抛物线配方得：y=-（-x-2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
与x轴交点为（1，0）（3，0），
与y轴交点为（0，-3），
可画出抛物线的示意图（如图）
∵A（1，0），B（0，3），C（2，1）
∴△ABC为等腰直角三角形，即∠BCD=90°
又∵直线AC与y轴交于点D
∴D（0，-1），
易得：BC=2，CD=22
依题意，设点P（0，y）
若△POB∽△BCD
则OPBC=
OBCD或OBBC=
OPCD
∴|y|2=
32
2或32=
|y|2
2
∴|y|=32或|y|=6
∴y=±32或y=±6．
∴当P点坐标为（0，32）（0，-32）（0，6）（0，-6）时，可使△POB∽△BCD．