Question

求教2道数学小题。

若直线y=2a与函数y=|a^x-1|（a＞0，且a≠1）的图像有两个公共点，求a的取值范围。
函数y=8-2^（3-x） （x≥0）的值域是？

Answer 1

第一：a大于1时
（1）当x大于0时 y=a^x-1 这个是增函数最大值趋向无穷 所以必和 y=2a 交一点

（2）当x小于0时 y=1-a^x 这个是减函数 y=1-a^x 最大值接近1 但小于 y=2a 所以没有交点

所以当a大于1时 ，直线y=2a与函数y=Ia^x-1I （0<a,a不等于1)的图像只有1个交点 不符合题意。

第二：当0.5小于等于a小于1时

（1）当x大于0时 y=1- a^x 这个是增函数最大值无穷接近1但达不到1 所以必没和 y=2a大于等于1 有交点

（2）当x小于0时 y=a^x-1 这个是减函数，随x减小y增大，所以必和y=2a 有一个交点

所以当0.5小于等于a小于等于1时 ，直线y=2a与函数y=Ia^x-1I （0<a,a不等于1)的图像只有1个交点 不符合题意。

第三：当0小于a小于0.5时
（1）当x大于0时 y=1- a^x 这个是增函数最大值无穷接近1但达不到1 所以必和 y=2a小于1 有一个交点

（2）当x小于0时 y=a^x-1 这个是减函数，随x减小y增大到无穷，所以必和（0小于y=2a 小于1）有一个交点

所以当0小于a小于0.5时 ，直线y=2a与函数y=Ia^x-1I （0<a,a不等于1)的图像有2个交点 符合题意。

综合以上3种 ：a实数的取值范围为0小于a小于0.5

二、
x≥0 则3-x＜=3
当x取[0,3]，则2^（3-x）>=1,
0<=8-2^（3-x)<=8
当x>3时，3-x<0, 2^（3-x）<1
8-2^（3-x）>7
所以y的值域为[0,8]