Question

一道数学题，第二小题求详解

24．（本题满分12分，每小题各4分）
已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D的坐标为，点P在二次函数的图像上，∠ADP为锐角，且，请直接写出点P的横坐标；
（3）点E在x轴的正半轴上，，点O与点关于EC所在直线对称，过点O作的垂线，垂足为点N，ON与EC交于点M．若，求点E的坐标．

Answer 1

（2014•上海模拟）已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2+2mx-4（m≠0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D的坐标为（-2，1），点P在二次函数的图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP=2，请直接写出点P的横坐标；
（3）点E在x轴的正半轴上，∠OCE＞45°，点O与点O′关于EC所在直线对称，过点O作O′E的垂线，垂足为点N，ON与EC交于点M．若EM•EC=48，求点E的坐标．
解：（1）由题意可得：该二次函数图象的对称轴为直线x=-1；
∵当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），
∵S△ABC=
1
2
AB•|yC|=12，
∴AB=6．
又∵点A，B关于直线x=-1对称，
∴A点和B点的坐标分别为（-4，0），（2，0）．
∴4m+4m-4=0，解得m=
1
2
．
∴所求二次函数的解析式为y=
1
2
x2+x-4．

（2）如图，作DF⊥x轴于点F．分两种情况：
（ⅰ）当点P在直线AD的下方时，如图所示．
由（1）得点A（-4，0），点D（-2，1），
∴DF=1，AF=2．
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，得tan∠ADF=
AF
DF
=2．
延长DF与抛物线交于点P1，则P1点为所求．
∴点P1的坐标为（-2，-4）．
（ⅱ）当点P在直线AD的上方时，延长P1A至点G使得AG=AP1，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示．
可证△GHA≌△P1FA．
∴HA=AF，GH=P1F，GA=P1A．
又∵A（-4，0），P1（-2，-4），
∴点G的坐标是（-6，4）．
在△ADP1中，
DA=
5
，DP1=5，
AP1=2
5
，
∴DA2+AP12=DP12
∴∠DAP1=90°．
∴DA⊥GP1．
∴DG=DP1．
∴∠ADG=∠ADP1．
∴tan∠ADG=tan∠ADP1=2．
设DG与抛物线的交点为P2，则P2点为所求．
作DK⊥GH于点K，作P2S∥GK交DK于点S．
设P2点的坐标为（x，
1
2
x2+x-4），
则P2S=
1
2
x2+x-4-1=
1
2
x2+x-5，DS=-2-x．
由
P2S
GK
=
DS
DK
，GK=3，DK=4，得

1
2
x2+x−5

3
=
−2−x
4
．
整理，得2x2+7x-14=0．
解得x=

−7±
161

4
．
∵P2点在第二象限，
∴P2点的横坐标为x=

−7−
161

4
（舍正）．
综上，P点的横坐标为-2或

−7−
161

4
．

（3）如图，连接OO′，交CE于T．连接CO′．
∵点O与点CO′关于EC所在直线对称，
∴OO′⊥CE，∠OCE=∠O′CE，∠CO′E=∠COE=90°，
O′C⊥O′E．
∵ON⊥O′E，
∴O′C∥ON．
∴∠OMC=∠O′CE=∠OCE．
∴OC=OM．
∴CT=MT．
∵在Rt△ETO中，∠ETO=90°，cos∠OEC=
ET
OE
，
在Rt△COE中，∠COE=90°，cos∠OEC=
OE
EC
，
∴
OE
EC
=
ET
OE
．
∴OE2=ET•EC
=（EM+TM）•EC
=EM•EC+TM•EC
=48+TM•EC．
同理OC2=CT•EC=TM•EC=16．
∴OE2=48+16=64．
∵OE＞0，
∴OE=8．
∵点E在x轴的正半轴上，
∴E点的坐标为（8，0）．

Answer 2

答：

请参考：

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/6271e5e1-2f7b-444e-b8a0-17c0725cb582

Answer 3

，作DF⊥x轴于点F．分两种情况：
（ⅰ）当点P在直线AD的下方时，如图所示．
由（1）得点A（-4，0），点D（-2，1），
∴DF=1，AF=2．
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，得tan∠ADF=

AFDF

=2．
延长DF与抛物线交于点P₁，则P₁点为所求．
∴点P₁的坐标为（-2，-4）．
（ⅱ）当点P在直线AD的上方时，延长P₁A至点G使得AG=AP₁，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示．
可证△GHA≌△P₁FA．
∴HA=AF，GH=P₁F，GA=P₁A．
又∵A（-4，0），P₁（-2，-4），
∴点G的坐标是（-6，4）．
在△ADP₁中，
DA=

5

，DP₁=5，
AP₁=2

5

，
∴DA²+AP₁²=DP₁²
∴∠DAP₁=90°．
∴DA⊥GP₁．
∴DG=DP₁．
∴∠ADG=∠ADP₁．
∴tan∠ADG=tan∠ADP₁=2．
设DG与抛物线的交点为P₂，则P₂点为所求．
作DK⊥GH于点K，作P₂S∥GK交DK于点S．
设P₂点的坐标为（x，

12

x²+x-4），
则P₂S=

12

x²+x-4-1=

12

x²+x-5，DS=-2-x．
由

P2SGK

=

DSDK

，GK=3，DK=4，得

12x2+x−53

=

−2−x4

．
整理，得2x²+7x-14=0．
解得x=

−7±1614

．
∵P₂点在第二象限，
∴P₂点的横坐标为x=

−7−1614

（舍正）．
综上，P点的横坐标为-2或

−7−1614