Question

若a+b+c=1,求√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值

过程：设x=√(3a+1),y=√(3b+1),z=√(3c+1),t=x+y+z
a+b+c=1
所以x^2+y^2+z^2=6
x^2+y^2=6-z^2
设m=x+y+z
则x+y=m-z
因为x^2+y^2>=(x+y)^2/2
所以6-z^2>=(m-z)^2/2
所以3z^2-2mz+m^2-12<=0
开口向上的抛物线小于等于0有解则判别式大于等于0
所以4m^2-12(m^2-12)>=0
m<=3√2
所以√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)=m<=3√2
即√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值=3√2
在上述过程中“x^2+y^2>=(x+y)^2/2”什么意思

Answer 1

解：由题设a+b+c=1及柯西不等式可得：18=3×6=(1²+1²+1²)[(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)]≥[√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)]².===>√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)≤3√2.∴[√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)]max=3√2.

Answer 2

这个是均值不等式的变形 老师应该会讲的

Answer 3

因为已经有x^2+y^2=6-z^2和x+y=m-z两个等式，为了求最终的m，所以尽量将x,y和z转化为带m的项，这个不等式x^2+y^2>=(x+y)^2/2所起的所用就是降幂和消元。