Question

已知x1 x2是关于x的方程x² -kx+k-1=0的两个实数根。求y=（x1=2x2）（2x1-x2）的最小值

已知x1 x2是关于x的方程x² -kx+k-1=0的两个实数根。求y=（x1=2x2）（2x1-x2）的最小值

Answer 1

解，根据方程实数根的性质，可以得到，
x1+x2=(-b/a)=k
x1×x2=(c/a)=k-1
有因为x1,x2分别为方程x² -kx+k-1=0的两个实数根，所以，x1² -kx1+k-1=0
x2² -kx2+k-1=0

又因为y=(x1+2x2)(2x1-x2)
=2x1²-x1x2+4x1x2-2x2²
=2x1²+3x1x2-2x2²
=2(x1²-x2²)-3x1x2
=2(x1+x2)(x1-x2)-3x1x2
-2k(x1-x2)-3(k-1)
又因为（x1-x2）=²（x1+x2）²-4x1x2
=√k²-4k+4
=√(k+2)²
=k+2
所以，y=2k（k+2）-3(k-1)
=2k²-k+3
y的图像是一个开口向上的抛物线， 可知，y的最小值在他的抛物线定点上，此时，k=-b/2a=1/4
代入，解得，y=23/8