Question

数学微积分——求极限

求极限limx→0（e^xsinx-x（x+1））/x^3
要求详解。
可不可以把sinx换成x再用洛必达法则求极限？

Answer 1

这种情况下不可以直接把sinx换成x再用洛必达法则，
limx→0（e^xsinx-x（x+1））/x^3 （用洛必达，上下求导）
=limx→0（e^xsinx+e^xcosx-2x-1）/3x^2（继续用洛必达，上下求导）
=limx→0（2e^xcosx-2）/6x（继续用洛必达，上下求导）
=limx→0（2e^xcosx-2e^xsinx）/6
=（2-0）/6
=1/3

Answer 2

泰勒展开(x=0处),忽略高阶项

e^x =1+x+(1/2)x^2

sin(x) =x

（e^xsinx-x（x+1））/x^3

={[1+x+(1/2)x^2]x-x（x+1）}/x^3

=(x+x^2 +(1/2)x^3-x^2-x)/x^3

=(1/2)x^3/x^3

=1/2