Question

已知矩形ABCD,EFK分别为AB、CD、BC边上的中点，AK与BF相交于H，AK与EF交于G,若AK垂直BF于H,证ABCD是正方形

已知矩形ABCD，E、F、K分别为AB、CD、BC边上的中点，AK与BF相交于H，AK与EF交于G，若AK垂直BF于H，证ABCD是正方形

Answer 1

阴影面积为35
设EH与FG相交于点I,连接EF。因为EF//DC，所以△EFI与△GHI相似。因为GH=DC/2=AB/2=5
EF=DC=10 过I点作ED的平行线分别交EF和GH与K和L。 KI+IL=3IL=BC/2=6.即IL=2,KI=4
阴影面积为10*12-6*10-10*4/2-5*2/2=120-60-20-5=35

Answer 2

已知四边形ABCD为矩形，E,F,K分别为AB,CD,BC中点，
可得出AB=2EB,BC=2BK,EF=BC,
∠ABK=∠FEB=90°，EF‖BC
因为AK垂直与BF，可知∠FGH=∠FBE=∠AKB,∠EFB=∠FBC=∠BAK
由∠FBE=∠AKB，∠EFB=∠BAK, ∠ABK=∠FEB得
△ABK与△EFB相似，
可得AB:EF=BK:EB,
因为AB=2EB,BC=2BK,EF=BC,
所以AB=BC，所以ABCD为正方形。