在边长为6的菱形abcd中，动点m从a点出发，沿a-b-c向终点c运动，连接dm交ac于点n。（1）如图，当点m在ab边
1）如图，当点m在ab边上时，连接bn,求证：三角形abn全等于三角形adn: (2)如图，角abc=60°，记点m运动所经过的路程为x（6小于等于x小于等于12).试问：x为何值时，三角形adn为等腰三角形 展开
解：（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②作MH⊥DA交DA的延长线于点H．
由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=23．
∴点M到AD的距离为23．
∴AH=2．
∴DH=6+2=8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH=MHDH=
2
38=
34，
由①知，∠MDH=∠ABN=α，
∴tanα=34；
（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：
（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∴AC=62．
∴CM=CN=AC-AN=62-6．
故x=12-CM=12-（62-6）=18-62．
综上所述：当x=6或12或18-62时，△ADN是等腰三角形
．
∴AB = AD，∠1 =∠2
又∵AN = AN
∴△ABN ≌ △ADN
②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H，由AD‖BC，得∠MAH =∠ABC = 60°，
在Rt△AMH中，MH = AM・sin60° = 4×sin60° = 2，
∴点M到AD的距离为 2.
易求AH=2，则DH=6＋2=8.
在Rt△DMH中，tan∠MDH=，
由①知，∠MDH=∠ABN=α.
故tanα=
（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形
此时，∠CAD=45°.
下面分三种情形：
Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°.
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°.
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，
由AD‖BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4，从而CM=CN，
易求AC=6，∴CM=CN=AC－AN=6－6，
故x = 12－CM=12－（6－6）=18－6
综上所述：当x = 6或12 或18－6时，△ADN是等腰三角形
∴ ad=ab 角dan=角ban
又∵an=an
故三角形abn全等于三角形adn
2）∵角abc=60
∴角dac=60 角adc=60
故m在c处时为等腰三角形
∴x=12时三角形adn为等腰三角形
注：file:///C:/Documents%20and%20Settings/Administrator/Local%20Settings/Temporary%20Internet%20Files/Content.IE5/0LWDEZ8T/1e4d837d%5B1%5D.png
（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②解：连接DB，
∴AC垂直平分BD，
∴NB=ND，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵∠ADM=20°，
∴∠BDN=∠DBN=10°，
∴∠BNM=∠MBN=20°，
∴MN=MB．
（2）解：∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：
（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∴AC=6
根号2
．∴CM=CN=AC-AN=6
根号2
-6．故x=12-CM=12-（6
根号 2
-6）=18-6
根号2
．综上所述：当x=6或12或18-6
根号 2 时，△AND是等腰三角形．
