Question

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N。

（1）如图1.当点M在AB上时，连接BN。
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4,求三角形ABN的面积

Answer 1

（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形

∴AB­ = AD，∠1 =∠2

又∵AN = AN

∴△ABN ≌ △ADN

②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H，由AD‖BC，得∠MAH =∠ABC = 60°，

在Rt△AMH中，MH = AM・sin60° = 4×sin60° = 2，

∴点M到AD的距离为 2.

易求AH=2，则DH=6＋2=8.

在Rt△DMH中，tan∠MDH=，

由①知，∠MDH=∠ABN=α.

故tanα=

（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形

此时，∠CAD=45°.

下面分三种情形：

Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°.

此时，点M恰好与点B重合，得x=6；

Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°.

此时，点M恰好与点C重合，得x=12；

Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，

由AD‖BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3，

∴∠3=∠4，从而CM=CN，

易求AC=6，∴CM=CN=AC－AN=6－6，

故x = 12－CM=12－（6－6）=18－6

综上所述：当x = 6或12 或18－6时，△ADN是等腰三角形

Answer 2

楼上的那位，你那个三角函数我看不大懂，所以这有一个，我看还不错
连接AC
（1）①证明：∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD,∠ABN=∠DAN
又因为AN=AN
所以△ABN≌△ADN
②解：∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC,∠BAC=∠DAC.
∵∠ABC=60°∴△ABC为等边三角形
∴∠BAC=60°=∠DAC=∠ABC
∴∠BAD=120°
延长DA，过点M作MP⊥DA ,垂足为P
∴∠MPA=90°
∵∠MAP+∠MAD=180°
∴∠MAP=60°
∴sin∠MAP=MP/AM=(根号三）/2
∴MP/4=(根号三)/2
∴MP=二倍根号三
连接BD,则∠ABD=∠CBD=1/2乘60=30°
∴tan30°=（根号三）/2
∴M到AD的距离为二倍根号三，tanα的值为30°
（2）分类讨论
①若DA=DN
即N在点C上
此时，x值为12
②若NA=ND
即N在AD中垂线上
此时，x值为9
③若AD=AN
即AN=6
∴NC=(六倍根号二）-2
∵AD∥BC
∴△ADN∽△CMN
∴△CMN为等腰三角形
且CM=CN=（六倍根号二）-2
∴x为12-[（六倍根号二）-2]=18-六倍根号二
综上所述当x为12或9或（18-六倍根号二）时，△ADN为等腰三角形.

Answer 3

解：（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②作MH⊥DA交DA的延长线于点H．
由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=2．
∴点M到AD的距离为2
根号3
∴AH=2．
∴DH=6+2=8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH=
MH/DH=
2根号3/8

根号3/4，
由①知，∠MDH=∠ABN=α，
∴tanα=
根号3/4；

（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：
（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∴AC=6根号2．
∴CM=CN=AC-AN=6根号2-6．
故x=12-CM=12-（6根号2-6）=18-6根号2．
综上所述：当x=6或12或18-6根号2时，△ADN是等腰三角形